深度学习基础入门篇四：激活函数介绍:tanh、sigmoid、ReLU、PReLU、ELU、softplus、softmax、swish等

1.激活函数

激活函数的作用

(资料图片)

如果不用激活函数，每一层输出都是上层输入的线性函数，无论神经网络有多少层，最终的输出都是输入的线性组合。 激活函数给神经元引入了非线性因素，使得神经网络可以任意逼近任何非线性函数。

2.常见激活函数种类介绍

2.1 sigmoid

函数定义：

$f(x)=\sigma(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}\quad\text{}$

导数：

$f^{"}(x)=f(x)(1-f(x))$

* $sigmoid$函数的输出映射在 (0,1)之间，单调连续，输出范围有限，优化稳定，可以用作输出层；

* 求导容易；

* 由于其软饱和性，一旦落入饱和区梯度就会接近于0，根据反向传播的链式法则，容易产生梯度消失，导致训练出现问题；

* Sigmoid函数的输出恒大于0。非零中心化的输出会使得其后一层的神经元的输入发生偏置偏移（Bias Shift），并进一步使得梯度下降的收敛速度变慢；

* 计算时，由于具有幂运算，计算复杂度较高，运算速度较慢。

2.2 tanh

函数定义：

$f(x)=\tanh (x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

导数：

$f^{"}(x)=1-f(x)^2$

* tanh比 sigmoid函数收敛速度更快；

* 相比 sigmoid函数，tanh是以 0为中心的；

* 与 sigmoid函数相同，由于饱和性容易产生的梯度消失；

* 与 sigmoid函数相同，由于具有幂运算，计算复杂度较高，运算速度较慢。

2.3 ReLU

函数定义：

$f(x)=\left{\begin{array}{lr}0&x<0\ x&x\geq0\end{array}\right.$

导数：

$f(x)^{\prime}= \begin{cases}0 & x<0 \ 1 & x \geq 0\end{cases}$

* 收敛速度快；

* 相较于 sigmoid和 tanh中涉及了幂运算，导致计算复杂度高， ReLU可以更加简单的实现；

* 当输入 x>=0时，ReLU 的导数为常数，这样可有效缓解梯度消失问题；

* 当 x<0时，ReLU 的梯度总是 0，提供了神经网络的稀疏表达能力；

* ReLU 的输出不是以 0为中心的；

* 神经元坏死现象，某些神经元可能永远不会被激活，导致相应参数永远不会被更新；

* 不能避免梯度爆炸问题； 

2.4 LReLU

函数定义：

$f(x)=\left{\begin{array}{lr}\alpha x&x<0\ x&x\geq0\end{array}\right.\quad$

导数：

$f(x)^{"}=\begin{cases}\alpha&x<0\\ 1&x\geq0\end{cases}$

* 避免梯度消失；

* 由于导数总是不为零，因此可减少死神经元的出现；

* LReLU 表现并不一定比 ReLU 好；

* 无法避免梯度爆炸问题；    

2.5 PReLU

函数定义 :

$f(\alpha,x)=\left{\begin{array}{lr}\alpha x&x<0\ x&x\geq0\end{array}\right.\quad$

导数：

$f\left(\alpha,x\right)"=\left{\begin{array}{cc}\alpha&x<0\ 1&x\ge0\end{array}\right.\quad$

* PReLU 是 LReLU 的改进，可以自适应地从数据中学习参数；

* 收敛速度快、错误率低；

* PReLU 可以用于反向传播的训练，可以与其他层同时优化；

2.6 RReLU

函数定义：

$f(\alpha,x)=\left{\begin{array}{lr}\alpha x&x<0\ x&x\geq0\end{array}\right.$

导数：

$f(\alpha,x)"=\left{\begin{array}{lr}\alpha&x<0\ 1&x\geq0\end{array}\right.$

优点：为负值输入添加了一个线性项，这个线性项的斜率在每一个节点上都是随机分配的（通常服从均匀分布）。

2.7 ELU

函数定义：

$f(\alpha,x)=\left{\begin{array}{lr}\alpha\left(e^x-1\right)&x<0\ x&x\ge0\end{array}\right.$

导数：

$f(\alpha,x)^{"}=\left{\begin{array}{lr}f(\alpha,x)+\alpha&x<0\ 1&x\geq0\end{array}\right.$

* 导数收敛为零，从而提高学习效率；

* 能得到负值输出，这能帮助网络向正确的方向推动权重和偏置变化；

* 防止死神经元出现。

* 计算量大，其表现并不一定比 ReLU 好；

* 无法避免梯度爆炸问题；

2.8 SELU

函数定义：

$f(\alpha,x)=\lambda\left{\begin{array}{lr}\alpha\left(e^x-1\right)&x<0\ x&x\geq0\end{array}\right.$

导数：

$f(\alpha,x)"=\lambda\left{\begin{array}{lr}\alpha\left(e^x\right)&x<0\ 1&x\geq0\end{array}\right.$

* SELU 是 ELU 的一个变种。其中 λ 和 α 是固定数值（分别为 1.0507和 1.6726）;

* 经过该激活函数后使得样本分布自动归一化到 0均值和单位方差;

* 不会出现梯度消失或爆炸问题;

2.9 softsign

函数定义：

$f(x)=\dfrac{x}{|x|+1}\quad\text{}$

导数：

$f"(x)=\frac{1}{\left(1+\left|x\right|\right)^2}\quad\text{}$

* softsign是 tanh激活函数的另一个替代选择；

* softsign是反对称、去中心、可微分，并返回 −1和 1之间的值；

* softsign更平坦的曲线与更慢的下降导数表明它可以更高效地学习；

* 导数的计算比tanh更麻烦；

2.10 softplus

函数定义：

$f(x)=\ln\left(1+e^x\right)\quad\quad$

导数：

$f"(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$

* 作为 relu 的一个不错的替代选择，softplus能够返回任何大于 0的值。

* 与 relu不同，softplus的导数是连续的、非零的，无处不在，从而防止出现死神经元。

*  导数常常小于 1，也可能出现梯度消失的问题。

* softplus另一个不同于 relu的地方在于其不对称性，不以零为中心，可能会妨碍学习。

3.多分类激活函数

3.1 softmax

softmax 函数一般用于多分类问题中，它是对逻辑斯蒂（logistic）回归的一种推广，也被称为多项逻辑斯蒂回归模型(multi-nominal logistic mode)。假设要实现 k 个类别的分类任务，Softmax 函数将输入数据 xi映射到第 i个类别的概率 yi如下计算：

$yi=software\max\left(x_i\right)=\dfrac{e^{x_i}}{\sum{j=1}^{k}e^{x_j}}$

显然，$0

由于 softmax 输出结果的值累加起来为 1，因此可将输出概率最大的作为分类目标（图 1 中被分类为第一类）。

也可以从如下另外一个角度来理解图 1 中的内容：给定某个输入数据，可得到其分类为三个类别的初始结果，分别用 x1、x2和 x3来表示。这三个初始分类结果分别是 4、1和-4。通过 Softmax 函数，得到了三个类别分类任务中以概率表示的更好的分类结果，即分别以 95.25%、4.71%和0.04% 归属于类别1、类别2 和类别3。显然，基于这样的概率值，可判断输入数据属于第一类。可见，通过使用 Softmax 函数，可求取输入数据在所有类别上的概率分布。

3.2 swish

函数定义：

$f(x)=x\cdot\sigma(x)$

其中，σ是 sigmoid函数。

$\begin{aligned}f"\left(x\right)=\sigma\left(x\right)+x\cdot\sigma\left(x\right)\left(1-\sigma\left(x\right)\right)\ =\sigma\left(x\right)+x\cdot\sigma\left(x\right)-x\cdot\sigma\left(x\right)^2\ =x\cdot\sigma\left(x\right)+\sigma\left(x\right)\left(1-x\cdot\sigma\left(x\right)\right)\ =f\left(x\right)+\sigma\left(x\right)\left(1-f\left(x\right)\right)\end{aligned}$

$f\left(x\right)=x\cdot\sigma\left(\beta x\right)$

* 当 x>0时，不存在梯度消失的情况；当 x<0时，神经元也不会像 ReLU 一样出现死亡的情况；

* swish处处可导，连续光滑；

* swish并非一个单调的函数；

* 提升了模型的性能；

* 计算量大；

3.3 hswish

函数定义：

$f\left(x\right)=x\frac{\mathrm{Re}L U6\left(x+3\right)}{6}\quad$

4.激活函数的选择

5. 激活函数相关问题总结

5.1 为什么 relu不是全程可微/可导也能用于基于梯度的学习？

从数学的角度看 relu在 0点不可导，因为它的左导数和右导数不相等；但在实现时通常会返回左导数或右导数的其中一个，而不是报告一个导数不存在的错误，从而避免了这个问题。

5.2 为什么 tanh的收敛速度比 sigmoid快？

$\begin{array}{c}\tanh^{"}\left(x\right)=1-\tanh\left(x\right)^{2}\in\left(0,1\right)\ \ s^{"}\left(x\right)=s\left(x\right)\left(1-s\left(x\right)\right)\in\left(0,\dfrac{1}{4}\right]\end{array}$

由上面两个公式可知 tanh引起的梯度消失问题没有 sigmoid严重，所以 tanh收敛速度比 sigmoid快。

5.3 sigmoid 和 softmax 有什么区别？